初二数学经典难题(初二数学经典难题讲解)

解： 在三角形ABC内部作∠CBF＝20°，BF与AC交于F因为AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BCF＝80°所以∠BFC＝80°所以∠BFC＝∠BCF所以BC＝BF所以∠DBF＝60°因为∠DCB＝50°所以∠CDB＝50°所以∠DCB＝∠CDB所以BC＝BD所以BD＝BF所以△BDF是等边三角形所以BF＝DF，∠BFD＝60°所以∠EFD＝40°因为∠EBF＝60°－20°＝40°，∠BFE＝100°所以∠BEF＝40°所以∠BEF＝∠EBF所以BF＝EF所以EF＝DF所以∠DEF＝∠EDF＝70°所以∠BED＝30° 祝你学习进步

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1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、 BE相交于 点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC= ，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上， 且∠DCB=∠EBC= .探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并 证明你的结论. 本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和与外角、等基础知识，以及定义新图形、几何变换（轴对称、平移）、对特殊图形认识等。解答此题需要学生在理解题目要求的前提下，对命题的结论作出判断并给与证明。反映出在新课标理念下命题方向的变化以及命题形式的变化。此题要求学生在已学过的相应知识的基础上，应用新定义的等对边四边形的概念探索解决问题的方法。需要学生阅读题目给出的相对于学生来说是新知识的材料，并在理解的基础上加以运用，以解决新问题。考查了学生自己阅读材料获取新知识、学习理解新知识和应用新知识的能力。 经典难题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） 2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D¬2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点． 求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 经典难题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE‖AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二） 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE‖AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F． 求证：AE＝AF．（初二） 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） 4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） 经典难题（四） 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二） 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） 3、Ptolemy（托勒密）定理：设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB•CD＋AD•BC＝AC•BD． （初三） 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） 经典难题（五） 1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，l＝PA＋PB＋PC，求证：≤l＜2． 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长． 4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数． 第一题 平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，降△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为多少？ 第二题△ABC中，AB=AC，DE//BA交AC于E，DF//CA交AB于F，连接EF、AD，那么是否有以下结论？说明理由。1）AD与EF互相平分2）AE=BF
一、情境问题 如图，为修公路， 如图，为 修公路，需测量出被大石头 阻挡的∠ 的大小 为此， 的大小， 阻挡的∠A的大小，为此，小张师傅 便在AC的延长线上取一点 的延长线上取一点D， 便在 的延长线上取一点 ，使 AC=CD，在BC的延长线上取点 ，的延长线上取点E， ， 的延长线上取点 使BC=CE，连接 ，则只要测出 ，连接DE， 的度数， 的度数， ∠D的度数，便可求出∠A的度数， 的度数 便可求出∠ 的度数 请说明理由。 请说明理由。二、明确学习目标1、通过探究，明确实际问题与全等三角形、通过探究， 知识的联系。 知识的联系。2、能将实际问题转化为全等三角形问题进、 行解答。 行解答。 3、初步认识几何中的文字命题的证明步骤 、 和方法，能学会简单命题的证明。 和方法，能学会简单命题的证明。 4、进一步体会全等三角形知识与生活实际 、 的密切联系。 的密切联系。三、实际问题分析1、如图，两根长度为12m的绳子，一 、如图，两根长度为 的绳子， 的绳子 端系在与地面垂直的旗杆上， 端系在与地面垂直的旗杆上，另一端 分别固定在地面 A 两个木桩上， 两个木桩上，两个 木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 距离相等吗？B D C2、某铁路MN与公路PQ交于点O，现在 某铁路MN与公路PQ交于点O MN与公路PQ交于点 需建一座仓库在A 需建一座仓库在A区，使仓库到公路 与铁路的距离相等，且到交点O 与铁路的距离相等，且到交点O的距离是200m，在图上标出仓库G的位置 离是200m，在图上标出仓库G 200m 比例尺为110000。 （比例尺为1：10000。 P 请用尺规作图， 请用尺规作图， A 区 不写作法，但得 不写作法， 保留作图痕迹） 保留作图痕迹）M O Q N3、如图是小明制作的风筝，根据 如图是小明制作的风筝， DE=DF，EH=FH，不用度量， DE=DF，EH=FH，不用度量，就知DEH=∠DFH， 道∠DEH=∠DFH， D 请你根据所学知识 给予说明。 给予说明。E FH4、如图，A、B是河岸相对两点的距 、如图， 、 是河岸相对两点的距 离，现要测量河宽AB。 现要测量河宽 。 （1）请你用三角形全等的知识设计 ） A 一个方案； 一个方案； （2）请证明 ） 所设计方案的 正确性。 正确性。B四、几何中的文字命题的证明（一）例题分析： 例题分析： 命题： 命题：角的内部到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上。 点在角的平分线上。 已知： 内的一点， 已知：点P是∠AOB内的一点， 是 内的一点 B PC⊥OA，PD⊥OB， D⊥ ， ⊥ ， 垂足分别为C、 ， 垂足分别为 、D， P O 且PC=PD。 。C A求证： 的平分线上。 求证：点P在∠AOB的平分线上。 在 的平分线上（二）我来试一试 命题： 命题：角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。 的距离相等。 归纳步骤： 归纳步骤： 由命题的意义（题设和结论） 1、由命题的意义（题设和结论）画 出图形，按顺序标上字母。 出图形，按顺序标上字母。 依据命题和参照图形， 2、依据命题和参照图形，用符号语 言写出已知和求证。 言写出已知和求证。 明确思路，写出证明过程。 3、明确思路，写出证明过程。（三）应用训练1、命题：全等三角形的对应中线相等。 、命题：全等三角形的对应中线相等。 依据命题画出图形，写出已知和求证。 依据命题画出图形，写出已知和求证。 2、证明：如果两个三角形有两条边和 、证明： 其中一边上的高对应相等， 其中一边上的高对应相等，那么这两 个三角形全等。 个三角形全等。3、如图，在△ABC中, ∠BAC=90°， 如图，如图 中 ° AB=AC，AE是过 的一条直线，且B，C 是过A的一条直线 ， 是过 的一条直线， ， 的异侧， ⊥ 于 ， ⊥ 于 在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于 的异侧 E。（ ）求证：BD=DE+CE。 。（1）求证：。（ 。 （2）若直线AE旋转到图（2）位置，判断 ）若直线 旋转到图（ ）位置， 旋转到图 BD与DE，CE的关系并说明理由 BD与DE，CE的关系并说明理由。 的关系并说 明理由。
如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E，∠C=90°,AB=36,BC=24,S△abc=150,求DC的长.已知：如图，AD为△ABC中BC边上的中线，CE‖AB交AD的延长线于E。求证：（1）AB=CE（2）2AD

AB两卷 A卷1．如果两个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被________________垂直平分.2．如图，是一个轴对称图形,对称轴为直线l.图中A、D、E关于直线l的对称点分别是___________,图中长度相等的线段是_____________________ ________________________________________.3．到线段的两个端点的距离相等的点有_______个，一条线段的垂直平分线有_________条.4．如果一个等腰三角形的一个外角等于40°，则该等腰三角形的底角的度数是 ．5．在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，则∠BAD＝ ．6．等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是 ．7．在镜中看到的一串数字是“ ”，则这串数字是 ．8．如图，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝3cm,那么BC的长为cm．9．如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O.则图中除△ABC还有____________________________________________是等腰三角形．10．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图中全等的三角形是． 二、选择题：本大题共8小题；每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得零分．11． 下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是 （）． （A） （B） （C） （D）12． 下列图形不一定是轴对称图形的是 （）．（A）线段 （B）正方形 （C）半圆 （D）三角形13． 正五角星的对称轴有 （）．（A）1条 （B）2条 （C）5条 （D）10条14． 已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 （）．（A）6 （B）8 （C）10 （D）1215． 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 （）．（A）12 （B）12或15 （C）15 （D）15或1816． 已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 （）．（A）x＞12 （B）x＜6 （C）6＜x＜12 （D）0＜x＜1217． 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC的中点E，连结DE，则图中与DE相等的线段有 （）．（A）1条 （B）2条（C）3条 （D）4条18． 如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是 （）．（A）OB＝OC （B）OD＝OF（C）OA＝OB＝OC （D）BD＝DC 三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明或演算步骤．19．（10分）（1）请仔细观察图形（阴影部分），指出所给虚线中哪些是图形的对称轴？ （2）下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴. 20．（12分）（1）在数学课上，老师提出了一个问题：“角是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？”小明同学马上举手回答：“角是轴对称图形，角平分线就是它的对称轴．”同学们，小明同学的回答有正确吗？为什么？ （2）如图，在△ 中，∠C＝90°，用刻度尺及量角器分别作出AC、BC边的垂直平分线，并说明它们的交点与斜边AB的关系． 21．（12分）（1）如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长． （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数．1+1=1 B卷1．如果两个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被________________垂直平分.2．如图，是一个轴对称图形,对称轴为直线l.图中A、D、E关于直线l的对称点分别是___________,图中长度相等的线段是_____________________ ________________________________________.3．到线段的两个端点的距离相等的点有_______个，一条线段的垂直平分线有_________条.4．如果一个等腰三角形的一个外角等于40°，则该等腰三角形的底角的度数是 ．5．在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，则∠BAD＝ ．6．等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是 ．7．在镜中看到的一串数字是“ ”，则这串数字是 ．8．如图，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝3cm,那么BC的长为cm．9．如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O.则图中除△ABC还有____________________________________________是等腰三角形．10．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图中全等的三角形是． 二、选择题：本大题共8小题；每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得零分．11． 下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是 （）． （A） （B） （C） （D）12． 下列图形不一定是轴对称图形的是 （）．（A）线段 （B）正方形 （C）半圆 （D）三角形13． 正五角星的对称轴有 （）．（A）1条 （B）2条 （C）5条 （D）10条14． 已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 （）．（A）6 （B）8 （C）10 （D）1215． 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 （）．（A）12 （B）12或15 （C）15 （D）15或1816． 已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 （）．（A）x＞12 （B）x＜6 （C）6＜x＜12 （D）0＜x＜1217． 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC的中点E，连结DE，则图中与DE相等的线段有 （）．（A）1条 （B）2条（C）3条 （D）4条18． 如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是 （）．（A）OB＝OC （B）OD＝OF（C）OA＝OB＝OC （D）BD＝DC 三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明或演算步骤．19．（10分）（1）请仔细观察图形（阴影部分），指出所给虚线中哪些是图形的对称轴？ （2）下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴. 20．（12分）（1）在数学课上，老师提出了一个问题：“角是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？”小明同学马上举手回答：“角是轴对称图形，角平分线就是它的对称轴．”同学们，小明同学的回答有正确吗？为什么？ （2）如图，在△ 中，∠C＝90°，用刻度尺及量角器分别作出AC、BC边的垂直平分线，并说明它们的交点与斜边AB的关系． 21．（12分）（1）如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长． （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数． 22．（12分）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AC⊥BD，垂足为O，AC＝8cm.求
1．如果两个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被________________垂直平分. 2．如图，是一个轴对称图形,对称轴为直线l.图中A、D、E关于直线l的对称点分别是___________,图中长度相等的线段是_____________________ ________________________________________.3．到线段的两个端点的距离相等的点有_______个，一条线段的垂直平分线有_________条.4．如果一个等腰三角形的一个外角等于40°，则该等腰三角形的底角的度数是 ．5．在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，则∠BAD＝ ．6．等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是 ．7．在镜中看到的一串数字是“ ”，则这串数字是 ．8．如图，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝3cm,那么BC的长为cm．9．如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O.则图中除△ABC还有____________________________________________是等腰三角形．10．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图中全等的三角形是． 二、选择题：本大题共8小题；每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得零分．11． 下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是 （）． （A） （B） （C） （D）12． 下列图形不一定是轴对称图形的是 （）．（A）线段 （B）正方形 （C）半圆 （D）三角形13． 正五角星的对称轴有 （）．（A）1条 （B）2条 （C）5条 （D）10条14． 已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 （）．（A）6 （B）8 （C）10 （D）1215． 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 （）．（A）12 （B）12或15 （C）15 （D）15或1816． 已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 （）．（A）x＞12 （B）x＜6 （C）6＜x＜12 （D）0＜x＜1217． 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC的中点E，连结DE，则图中与DE相等的线段有 （）．（A）1条 （B）2条（C）3条 （D）4条18． 如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是 （）．（A）OB＝OC （B）OD＝OF（C）OA＝OB＝OC （D）BD＝DC 三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明或演算步骤．19．（10分）（1）请仔细观察图形（阴影部分），指出所给虚线中哪些是图形的对称轴？ （2）下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴. 20．（12分）（1）在数学课上，老师提出了一个问题：“角是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？”小明同学马上举手回答：“角是轴对称图形，角平分线就是它的对称轴．”同学们，小明同学的回答有正确吗？为什么？ （2）如图，在△ 中，∠C＝90°，用刻度尺及量角器分别作出AC、BC边的垂直平分线，并说明它们的交点与斜边AB的关系． 21．（12分）（1）如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长． （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数． 22．（12分）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，AC⊥BD，垂足为O，AC＝8cm.求梯形ABCD的面积.
1．如果两个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段被________________垂直平分. 2．如图，是一个轴对称图形,对称轴为直线l.图中A、D、E关于直线l的对称点分别是___________,图中长度相等的线段是_____________________ ________________________________________.3．到线段的两个端点的距离相等的点有_______个，一条线段的垂直平分线有_________条.4．如果一个等腰三角形的一个外角等于40°，则该等腰三角形的底角的度数是 ．5．在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，则∠BAD＝ ．6．等边三角形的两条高线相交所成的钝角的度数是 ．7．在镜中看到的一串数字是“ ”，则这串数字是 ．8．如图，AB＝AC，∠1＝∠2，BD＝3cm,那么BC的长为cm．9．如图，等边三角形ABC的三条中线交于点O.则图中除△ABC还有____________________________________________是等腰三角形．10．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，图中全等的三角形是． 二、选择题：本大题共8小题；每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内．每小题选对得3分，选错，不选或多选均得零分．11． 下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是 （）． （A） （B） （C） （D）12． 下列图形不一定是轴对称图形的是 （）．（A）线段 （B）正方形 （C）半圆 （D）三角形13． 正五角星的对称轴有 （）．（A）1条 （B）2条 （C）5条 （D）10条14． 已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 （）．（A）6 （B）8 （C）10 （D）1215． 已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 （）．（A）12 （B）12或15 （C）15 （D）15或1816． 已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 （）．（A）x＞12 （B）x＜6 （C）6＜x＜12 （D）0＜x＜1217． 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，取AC的中点E，连结DE，则图中与DE相等的线段有 （）．（A）1条 （B）2条（C）3条 （D）4条18． 如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是 （）．（A）OB＝OC （B）OD＝OF（C）OA＝OB＝OC （D）BD＝DC 三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明或演算步骤．19．（10分）（1）请仔细观察图形（阴影部分），指出所给虚线中哪些是图形的对称轴？ （2）下列图形是轴对称图形吗？如果是，分别画出它们的对称轴. 20．（12分）（1）在数学课上，老师提出了一个问题：“角是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？”小明同学马上举手回答：“角是轴对称图形，角平分线就是它的对称轴．”同学们，小明同学的回答有正确吗？为什么？ （2）如图，在△ 中，∠C＝90°，用刻度尺及量角器分别作出AC、BC边的垂直平分线，并说明它们的交点与斜边AB的关系． 21．（12分）（1）如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD＝3cm，△ABC的周长为20cm，求AC的长． （2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数．1+1= 1

勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）[编辑本段]最早的勾股定理从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。[编辑本段]《周髀算经》简介勾股。 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。如下:解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，a^2;+b^2;=c^2;说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c= a+b=9+16=25则说明斜边为5。[编辑本段]勾股定理部分习题第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？练习:1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm.2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm.3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm.4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm.5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A、25 B、14 C、7 D、7或259、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？练习：（×经典练习×）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。（1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。（2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。答案：（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）（A） 直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____.斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____.3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。同理，(BC)2=KEBL所以(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有c/b=b/m，c/a=a/n,cm=b2cn=a2两边相加得a2+b2=c(m+n)=c2这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得即a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，所以 △ACE≌△AGBSAEML=SACFG (1)同法可证SBLMD=SBKHC (2)(1)+(2)得SABDE=SACFG+SBKHC，即 c2=a2+b2证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。SCFGH=SABED+4×SABC，所以 a2+b2=c2证法3 如图26-4（梅文鼎图）。在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设五边形ACKDE的面积=S一方面，S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积=c2+ab (1)另一方面，S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积+2倍△ABC面积=b2+a2+ab. (2)由(1)，(2)得c2=a2+b2证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。设五边形EKJBD的面积为S。一方面S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)另一方面，S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK=b2+ab+a2由(1)，(2)得出论证都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc 勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif 勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度设底边上的高为h 底边长为2t易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10解得h=5(√6-√2)/2又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t解得t=5(√6+√2)故面积s=th=50 `[编辑本段]勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7~6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”． 在陈子后一二百年，希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
斜边中点向一直角边做垂线，则(b/2)的平方加上(a/2)的平方等于斜边中线的平方，又在另一个三角形中(b/2)的平方加上(a/2)的平方等于（c/2）的平方，求得c=5，另两边为3和4，面积自己去求
勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学
你好，请采纳回答： 反过来思考就行了..带根号的有理数a,其实指的就是某整数的平方a.看刚好小于2009的某个整数的a也就是a≤2009,且a是一个完全平方数44的平方是1936,45的平方是2025 所以总共有44个
1 假设答对X道题3X-(20-x)>50x>17.5所以至少要18题2CC^2保证为正数3D2个的结果为X≤3X≤2所以取X≤2表示一条射线有端点无终点4a>b有解表示X可以在AB中间取某一个有效值即A>X>B。aXx>bA